Tugas 3 MATA4110/KALKULUS I

 

Diketehui:

Pertanyaan:
a. Tentukan nilai  yang diberikan titik kritis.
b. tentukan di mana  naik dan  turun
c. tentukan di mana  cembung ke atas dan  cekung ke bawah.
d. tentukan nilai maksimum/minimumnya
e. apakah memiliki titik balik, kalua ya di mana?

Jawaban:

Mari kita selesaikan pertanyaan-pertanyaan ini satu per satu.

a. Untuk menemukan titik kritis, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi $f(x)f(x)$ dan menyamakan dengan nol.

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^3-2x^2-x+2f\text{'}(x)\; =\; x^3\; -\; 2x^2\; -\; x\; +\; 2$$

Setelah itu, kita perlu memecahkan persamaan $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)\; =\; 0$.

b. Untuk menentukan interval di mana $f(x)f(x)$ naik atau turun, kita periksa tanda dari $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ pada interval-interval yang dipisahkan oleh titik kritis.

c. Untuk menentukan di mana $f(x)f(x)$ cembung ke atas atau cekung ke bawah, kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi $f(x)f(x)$.

$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4x-1f\text{'}\text{'}(x)\; =\; 3x^2\; -\; 4x\; -\; 1$$

Setelah itu, kita periksa tanda dari $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}\text{'}(x)$ pada interval-interval yang dipisahkan oleh solusi dari $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}\text{'}(x)\; =\; 0$.

d. Nilai maksimum dan minimum dapat ditentukan dari nilai fungsi $f(x)f(x)$ pada titik kritis dan pada batas interval jika ada.

e. Titik balik adalah titik di mana fungsi beralih dari cekung ke cembung atau sebaliknya. Ini terjadi ketika $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}\text{'}(x)$ berubah tanda.

Mari kita mulai dengan menemukan titik kritis untuk $f(x)f(x)$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^3-2x^2-x+2=0f\text{'}(x)\; =\; x^3\; -\; 2x^2\; -\; x\; +\; 2\; =\; 0$$

Dengan menguraikan persamaan ini, kita mendapatkan nilai-nilai $xx$ yang memberikan titik kritis. Mari kita lakukan:

$$x^3-2x^2-x+2=0x^3\; -\; 2x^2\; -\; x\; +\; 2\; =\; 0$$

$$x=1,x=2\text{ (dengan asumsi akarnya dapat diselesaikan dengan mudah)}x\; =\; 1,\; x\; =\; 2\; \backslash text\{\; (dengan\; asumsi\; akarnya\; dapat\; diselesaikan\; dengan\; mudah)\}$$

Untuk $x=1x\; =\; 1$:

$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=3(1{)}^2-4(1)-1=-2f\text{'}\text{'}(1)\; =\; 3(1)^2\; -\; 4(1)\; -\; 1\; =\; -2$$

Karena nilai ini negatif, $x=1x\; =\; 1$ adalah titik lokal maksimum.

Untuk $x=2x\; =\; 2$:

$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)=3(2{)}^2-4(2)-1=3f\text{'}\text{'}(2)\; =\; 3(2)^2\; -\; 4(2)\; -\; 1\; =\; 3$$

Karena nilai ini positif, $x=2x\; =\; 2$ adalah titik lokal minimum.

Berdasarkan tanda dari $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$:

• Fungsi $f(x)f(x)$ naik pada interval $(-\mathrm{\infty },1)(-\backslash infty,\; 1)$ dan $(2,\mathrm{\infty })(2,\; \backslash infty)$.

• Fungsi $f(x)f(x)$ turun pada interval $(1,2)(1,\; 2)$.

Untuk cembung ke atas dan cekung ke bawah berdasarkan $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}\text{'}(x)$:

• Fungsi $f(x)f(x)$ cembung ke atas pada interval $(2,\mathrm{\infty })(2,\; \backslash infty)$.

• Fungsi $f(x)f(x)$ cekung ke bawah pada interval $(-\mathrm{\infty },1)(-\backslash infty,\; 1)$.

Titik balik terjadi pada nilai $xx$ yang membuat $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}\text{'}(x)\; =\; 0$. Mari kita pecahkan $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}\text{'}(x)\; =\; 0$:

$$3x^2-4x-1=03x^2\; -\; 4x\; -\; 1\; =\; 0$$

Hasilkan dengan metode kuadrat untuk nilai x, kita mendapatkan dua solusi:

$$x=\frac{4\pm \sqrt{16+12}}{6}x\; =\; \backslash frac\{4\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{16\; +\; 12\}\}\{6\}$$

$$x=\frac{4\pm \sqrt{28}}{6}x\; =\; \backslash frac\{4\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{28\}\}\{6\}$$

$$x=\frac{4\pm 2\sqrt{7}}{6}x\; =\; \backslash frac\{4\; \backslash pm\; 2\backslash sqrt\{7\}\}\{6\}$$

$$x=\frac{2\pm \sqrt{7}}{3}x\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{7\}\}\{3\}$$

Jadi, titik balik adalah pada $x=\frac{2+\sqrt{7}}{3}x\; =\; \backslash frac\{2\; +\; \backslash sqrt\{7\}\}\{3\}$ dan $x=\frac{2-\sqrt{7}}{3}x\; =\; \backslash frac\{2\; -\; \backslash sqrt\{7\}\}\{3\}$.

Rate this article